linear-logistisches Testmodell (LLTM)

[engl. linear logistic test model], [DIA, FSE], in vielen Bereichen der Statistik werden lineare Zusammenhang zw. vorhandenen und zu schätzenden Variablen postuliert (lineare Strukturgleichungsmodelle, Regression, lineare). Bei probabilistischen Modellen ist dies so nicht möglich, da die zu modellierenden Variablen Wahrscheinlichkeiten sind, also nur Werte zw. 0 und 1 annehmen können (Item-Response-Theorie (IRT); Regression, logistische). Das LLTM erlaubt es, eine lineare Zerlegung der logistisch transformierten Antwortwahrscheinlichkeiten im Rasch-Modell vorzunehmen. Bezieht sich die Modellierung auf die Itemparameter, so spricht man vom linear-logistischen Testmodell

Die Formel zeigt, dass die Itemparameter  mittels der Gewichte  auf Basisparameter  zurückgeführt werden (Item-Response-Theorie (IRT)). Die Q-gewichte müssen präexperimentell vorgegeben werden, die η-Parameter werden als Modellparameter geschätzt. Ob die in der Matrix der q-Gewichte postulierte Struktur der Itemschwierigkeiten den Daten angemessen ist, kann mit Likelihood-Quotienten geprüft werden. Die h×k-Matrix (h: Anzahl der Basisparameter, k: Anzahl der Itemparameter) muss vollen Rang haben, d. h., mehr Item- als Basisparameter aufweisen und linear unabhängige Spalten haben.

Ein Bsp. für die Anwendung des LLTM ist die Modellierung der Itemschwierigkeiten in einem Leistungstest als Summe der an der Lösung von Aufgaben beteiligten Denkoperationen bzw. deren Schwierigkeiten. Auch Lerneffekte, die aufgrund von exp. Maßnahmen erzielt wurden, lassen sich mittels des LLTM auf stat. Signifikanz prüfen (Signifikanztest). Dies setzt allerdings ein Computerprogramm voraus, das die Spezifizierung eines unvollständigen Testdesigns ermöglicht, d. h. eines Designs, nach dem best. Personengruppen nur Teilmengen der Itemstichprobe erhalten haben (Large Scale Assessment). Werden im Modell statt der Itemparameter die Personenparameter additiv zerlegt, so resultiert i. d. R. ein mehrdimensionales Rasch-Modell. Die Verallgemeinerung des Ansatzes der additiven Zerlegung auf mehrkategorielle, ordinale Daten ist ebenfalls möglich (linear-logistisches Partial-Credit-Modell, linear-logistisches Ratingskalen-Modell). Item-Response-Theorie (IRT)