Bernoulli-Verteilung

 

(= B.) [engl. Bernoulli distribution], auch Binomialverteilung, [FSE], ist die (diskrete) theoretische Verteilung der Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des Auftretens einer Klasse einer Alternativvariablen in einer Stichprobe von n voneinander unabhängigen Wiederholungen der Beobachtung der Alternativvariablen.

Sie ist gegeben durch

p(k)%3D%7Bn%5Cchoose%20k%7Dp_%7Be%7D%5E%7Bk%7D%5Ccdot%20q_%7Be%7D%5E%7Bn-k%7D%20%3D%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D%5Ccdot%20p_%7Be%7D%5E%7Bk%7D%5Ccdot%20q_%7Be%7D%5E%7Bn-k%7D

Mittelwert der Verteilung ist μ = p_{e} (p_{e} = theoretisch bekannte oder «erwartete» Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der einen der beiden Klassen bei einer Beobachtung der Alternativvariablen), die Varianz beträgt o%5E%7B2%7D%3Dp_%7Be%7D%5Ccdot%20q_%7Be%7D (wobei q_{e}=1-p_{e}). Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für k = 2 Kopfwürfe bei n = 6 Würfen einer Münze beträgt (da p_{e}=0,5):

p(2)%3D%5Cfrac%7B6!%7D%7B2!4!%7D%5Ccdot%20%5Cleft%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright%20)%5E%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cleft%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright%20)%5E%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B15%7D%7B64%7D%3D0%2C23

Bei großem n nähert sich die diskrete B. der kontinuierlichen Normalverteilung.

Referenzen und vertiefende Literatur

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