Chi-Quadrat-Tests

 

(\chi ^{2}-Tests) [engl. (Pearson's) chi-squared test], [FSE], eine Gruppe stat. Prüfverfahren (Signifikanztest) zur Analyse der Differenzen beobachteter und erwarteter Werte, wenn angenommen werden kann, dass die Kennwerteverteilung (basierend auf der Summe quadrierter Differenzen) einer Chi-Quadrat-Verteilung entspricht.

(1) Der \chi ^{2}-Test kann zur Prüfung des Zusammenhangs zweier nominalskalierter Merkmale X und Y eingesetzt werden. Die Nullhypothese («Die beiden Merkmale stehen nicht in Zusammenhang») besagt, dass die beobachtete Häufigkeit einer Merkmalskombination (o_{ij}=n(x_{i},y_{j})) derjenigen bei stochastischer Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeit von x_{i} und y_{j} entspricht: Die erwartete Häufigkeit e_{ij} ergibt sich als Produkt der Gesamthäufigkeit von x_{i} und der Gesamthäufigkeit von y_{j}, geteilt durch die Gesamtzahl aller Fälle N: e_{ij}=\left ( n(x_{i})\cdot n(y_{j}) \right )/N. Der Chi-Quadrat-Wert aggregiert die Differenzen von o_{ij} und e_{ij} zu einem Gesamtwert:

\chi ^{2}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}\left ( o_{ij}-e_{ij})^{2} /e_{ij}

(df = (k-1)(l-1) Freiheitsgrade.

Je stärker sich die beobachteten von den erwarteten Häufigkeiten unterscheiden, desto größer ist der \chi ^{2}-Wert (unter ansonsten gleichen Umständen). Besteht ein signifikanter Unterschied von beobachteten vs. bei Unabhängigkeit erwarteteten Häufigkeiten, so wird ein Zusammenhang (Korrelation) der Merkmale als stat. nachgewiesen akzeptiert.

(2) \chi ^{2}-Verteilungstests prüfen, ob die Verteilung der beobachteten Häufigkeiten der Ausprägungen eines Merkmals von einer theoretisch angenommenen Verteilung abweicht (z. B. Kolmogorov-Smirnov-Test). Die o_{i} entsprechen der Häufigkeit, mit der Merkmalsausprägung i beobachtet wurde. Die e_{i} entprechen der Häufigkeit, mit der Merkmalsausprägung i gemäß der angenommenen Verteilungsannahme erwartet wird (z. B. in der Hälfte der Fälle, wenn eine faire Münze geworfen wird). Ein signifikanter \chi ^{2}-Wert zeigt eine systematische Abweichung der empirischen von der theoretisch angenommenen Verteilung an.

(3) Bei manchen multivariaten Modellprüfungen (z. B. Strukturgleichungsmodelle, Latente Klassenanalyse) wird der \chi ^{2}-Test eingesetzt, um die Passung der durch ein Modell vorhergesagten zu einer in einer Stichprobe gemessenen Informationsstruktur (z. B. Kovarianzmatrix) zu prüfen.

Verwendete Literatur

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