Wahrscheinlichkeit

 

(= W.), [engl. probability; lat. probabilis glaubhaft, tauglich, wahrscheinlich], [FSE], gibt die Sicherheit an, mit der ein Ereignis eintreten wird. In der W.theorie wird dieser Begriff präzisiert, um aus der W. für einfache Ereignisse die W. von komplexeren Ereignissen berechnen zu können. Wenn bspw. die W. für die Geburt einer Tochter p = ,48 ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass bei fünf Kindern genau ein Sohn und vier Töchter geboren werden? Bei der Def. von Ereignissen geht man i. d. R. von einem Stichprobenraum Ω aus, der alle Elementarereignisse %5Cleft%20%5C%7B%20e_%7B1%7D...e_%7Bn%7D%20%5Cright%20%5C%7D eines Zufallsexperiments enthält. Bei einem Würfelwurf wäre der Stichprobenraum Ω = {1,2,3,4,5,6}. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, die W. eines Ereignisses zu def.

Gleich wahrscheinliche Elementarereignisse: Wenn alle n Elementarereignisse die gleiche Auftretensw. besitzen, so ist die W. für das Ereignis e_%7B1%7D gleich p(e_%7B1%7D) =1/n. Bspw. ist die W., mit einem ausbalancierten Würfel eine 5 zu würfeln, gleich 1/6. Diese intuitiv leicht nachvollziehbare Def. ist allerdings auf gleich wahrscheinliche Ereignisse beschränkt und außerdem zirkulär, da sie von dem Begriff «gleiche Auftretensw.» ausgeht. Relative Häufigkeit bei unendlich oft wiederholbarem Zufallsexperiment: Eine ebenfalls eingängige Def. von W. für ein Ereignis e_{i} geht von dessen Auftretenshäufigkeit n(e_{i}) bei N identisch wiederholbaren Zufallsexperimenten aus. Angenommen, bei einem nicht ausbalancierten Würfel seien die versch. Ausgänge nicht gleich wahrscheinlich, dann könnte man die W. für eine best. Augenzahl e_{i} folgendermaßen def.

P(e_i)%3D%5Clim_%7BN%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bn(e_i)%7D%7BN%7D

Das Problem bei dieser Def. ist jedoch, dass sie sich nur auf beliebig oft wiederholbare Zufallsexperimente anwenden lässt und so bspw. die sog. subj. W. ausschließt, die auch bei nicht wiederholbaren Zufallsexperimenten formuliert werden kann.

Axiomatische Definition von W.: Kolmogorov definiert das Konzept der W. axiomatisch. Der Vorteil dieser axiomatischen Def. ist, dass sie sowohl auf subj. W. als auch auf ungleich wahrscheinliche Elementarereignisse anwendbar ist. Die drei Axiome dieser Def. sind:

Axiom 1. Jedem Ereignis ei wird eine pos. Zahl (P(e_%7Bi%7D) ≥ 0) zugeordnet. Diese Zahl heißt W. des Ereignisses e_{i}. In der Praxis entspricht diese Zahl oft der relativen Häufigkeit (n(e_%7Bi%7D)%2FN) des Ereignisses; diese dient dann als eine Annäherung für die wahre W. P(ei).

Axiom 2. Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis Ω ist 1, d. h., P(Ω) = 1. Das sichere Ereignis schließt immer alle Ausgänge eines Zufallsexperiments ein, z. B. alle Seiten bei einem Würfelwurf.

Axiom 3. Für sich gegenseitig ausschließende (nicht gleichzeitig auftreten könnende) Ereignisse ei und ej ist die Wahrscheinlichkeit P(e_%7Bi%7D%5Ccup%20e_%7Bj%7D), dass entweder e_{i} oder e_{j} eintritt, P(e_%7Bi%7D%5Ccup%20e_%7Bj%7D)%3DP(e_%7Bi%7D)%2BP(e_%7Bj%7D).

Ein weiterer Vorteil dieser axiomatischen Def. von W. besteht darin, dass sie nicht nur endliche, sondern auch unendliche und überabzählbare Stichprobenräume einschließt.